Распознавание гомотопического типа объекта с помощью дифференциально-топологических инвариантов аппроксимирующего отображения

Abstract

Предложен новый метод топологического анализа данных, позволяющий получить информацию о гомотопическом типе анализируемого объекта. В отличие от наиболее хорошо разработанных и широко применяемых методов, использующих понятие персистентных гомологий, данный метод основан на анализе дифференциальных инвариантов аппроксимирующего отображения. Таким образом, в противоположность комбинаторно-топологическому подходу, используются методы дифференциальной топологии и прямая аналогия с основным результатом теории Морса. При этом аппроксимирующее графический объект гладкое отображение может быть построено с использованием общедоступного инструментария, например, нейронной сети. Доказано, в частности, что метод позволяет полностью распознать гомотопический тип объекта на плоскости: топологическая степень некоторого вспомогательного отображения и количество окружностей в гомотопически эквивалентном представлении объекта в виде букета связаны соотношением. Работа алгоритма продемонстрирована на примере символов из базы данных MNIST и их трансформаций. Рассмотрены обобщения и открытые вопросы, возникающие в случае более высоких размерностей.