Класс нелинейных задач на собственные значения, следующих из проблем нелинейной механики разрушения

Abstract

В настоящей работе получено асимптотическое решение нелинейной задачи на собственные значения, следующей из проблемы определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины антиплоского сдвига в материале со степенными определяющими соотношениями. Проведенный асимптотический анализ показал, что метод искусственного малого параметра является эффективным средством для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных функций, даже для больших значений показателя нелинейности материала 𝑛. Показано, что чем больше значения 𝑛, тем больше слагаемых следует удерживать в асимптотическом разложении искомых функций, что приводит к значительному усложнению процедуры построения собственных функций в случае более сложных задач с математической точки зрения: задач о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига, а также для смешанного нагружения тела с трещиной. В силу указанного свойства в настоящей работе собственные функции были построены с помощью аппроксимаций Паде (АП) различных порядков. Показано, что АП порядка [1,2] дает очень хорошее приближение для собственных функций.