Нелинейная динамика прямоугольных в плане нанооболочек

Abstract

В работе построена математическая модель нелинейных колебаний прямоугольных в плане нано оболочек под действием поперечной знакопеременой нагрузки. В основу математической модели положены следующие гипотезы: оболочка пологая, упругая, изотропная, геометрическая нелинейность учитывается по теории Т. фон Кармана, кинематическая гипотеза Кирхгофа-Лява. Из энергетического принципа Гамильтона на основе модифицированной моментной теории упругости построена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в смешенной форме восьмого порядка. Система уравнений сводится к задаче Коши методом конечных разностей с аппроксимацией второго порядка точности. Задача Коши решается методами типа Рунге-Кутты четвертого порядка. Исследуется сходимость этих решений в зависимости от шага интегрирования по временной и пространственной координатам. Выявлено, что учет наноэффектов приводит к увеличению зон гармонических колебаний и появлению кроме хаотических колебаний гиперхаотических. Переход колебаний из гармонических в хаотические происходит по сценарию Фейгенбауман. Характер колебаний выявляется с помощью анализа знака спектра Ляпуновских показателей. Гиперхаотические колебания характеризуются двумя положительными значениями Ляпуновских показателей, а хаотических колебания одним положительным Ляпуновким показателем. Для нанооболочек это явление выявлено впервые. Спектр Ляпуноских показателей определяется по методам Вольфа, Канца, Розенштайна и Саваада для получения достоверных результатов. In this work was constructed mathematical model of nonlinear vibrations of rectangular in plan nanoshells under the influence of a transverse alternating load. The mathematical hypothesis is based on the following hypotheses: the shell is gentle, elastic, isotropic geometric nonlinearity is taken into account according to the theory of von Karman, Kirchhoff-Love kinematic hypothesisThe system of nonlinear partial differential equations in mixed form of the eighth order is constructed from the Hamilton energy principle based on a modified couple stress theory of elasticity. The system of equations reduces to the Cauchy problem by the finite difference method with approximation of the second order of accuracy. The Cauchy problem is solved by methods of the fourth-order Runge-Kutta type. Convergence of these solutions is investigated depending on the integration step in time and space coordinates. It was found that taking nano effects into account leads to an increase the zones of harmonic vibrations in addition to chaotic vibrations, hyperchaotic vibrations ones appear. The transition from harmonic vibrations to chaotic vibrations occurs according to the Feigenbaum scenario. The nature of the vibrations was revealed through analysis sign spectrum of Lyapunov exponents. Hyperchaotic vibrations are characterized by two positive Lyapunov exponents, and chaotic vibrations by one positive Lyapunov exponentFor nanoshells, this phenomenon was revealed for the first time. The range of Lyapuno exponents is determined according to the methods of Wolf, Kantz, Rosenstein and Savaad to obtain reliable results.