Асимптотические методы решения нелинейных задач на собственные значения

Abstract

Целью данной работы является получение асимптотического решения нелинейной задачи на собственные значения, которая следует из проблемы определения напряженно – деформированного состояния у вершины трещины антиплоского (продольного) сдвига. Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных функций применялся метод искусственного малого параметра, который оказался очень эффективным, даже для больших значений показателя n. Чем больше значения n, тем больше слагаемых следует удерживать в асимптотическом разложении искомых функций. Это приведет к усложнению процедуры построения собственных функций в случае более сложных задач о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига. Получена сумма асимптотического ряда. Она представляет собой разложение собственной функции в ряд. В настоящей работе получено точное выражение для собственной функции нелинейной задачи на собственные значения. Asymptotic solutions of the nonlinear eigenvalue problems resulting from the problem of determining the stress-strain state near the crack tip of antiplane shear in power law materials are obtained. It is shown that the method of artificial small parameter is an effective way to obtain eigenvalues even for large values of n.