Блочный алгоритм совместного разностного решения уравнений Даламбера и Максвелла

Abstract

Характерной особенностью математического моделирования на современном этапе развития, по мнению авторов настоящего доклада, является учет архитектуры вычислительной системы не только на этапе составления программы для ЭВМ, но и в ходе разработки численного метода и синтеза математической модели. Указанный прием существенно расширит возможности исследователя по поиску оптимального (в смысле ускорения вычислений) отображения численного метода на упомянутую архитектуру. В предлагаемой работе данная идея иллюстрируется на примерах основной математической модели вычислительных электродинамики и оптики, уравнениях Максвелла, и FDTD-метода. Недавно были сформулированы блочные алгоритмы для разностного решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений Максвелла (FDTD-метод). Их успех вдохновил авторов доклада на следующий шаг — модификацию самой модели, ориентированную на сокращение упомянутых коммуникаций. Данная модификация основана на совместном решении уравнений Даламбера и Максвелла, которое позволяет с одной стороны в несколько раз сократить интенсивность обмена данных между оперативной и кэш-памятью за счет большего количества арифметических операций, приходящихся на одну сеточную функцию при решении уравнения Даламбера, с другой – свободно пользоваться детально разработанными за долгую историю FDTD-метода технологиями и готовыми программными реализациями задания падающей волны, наложения поглощающих слоев, учета дисперсии среды и др. за счет включения фрагментов сеточной области Yee в основную сеточную область. A characteristic feature of mathematical modelling at the present stage of development of this scientific branch, according to the authors of this report, is the consideration of the architecture of the computer system not only at the stage of compiling a computer program, but also in the development of a numerical method and the synthesis of a mathematical model. This method significantly broadens the researcher's ability to search for the optimal (in the sense of accelerating computations) mapping of the numerical method to the mentioned architecture. In this paper, this idea is illustrated by examples of the basic mathematical model of computational electrodynamics and optics, Maxwell's equations, and the FDTD. This modification is based on the joint solution of the d’Alembert and Maxwell equations, which allows one to several times reduce the data exchange rate between the operational and cache memory due to the greater number of arithmetic operations per one grid function in solving the d’Alembert equation, on the other hand, freely use the technologies developed in the long history of the FDTD method and ready-made software implementations for setting the incident wave, imposing the absorbing layers, taking into account the dispersion of the medium and others.